数学竞赛训练题五答案

　　一、选择题：(每小题5分，共50分)

　　题号12345678910

　　答案CBADDABCCD

　　二、填空题：(每小题5分，共30分)

　　11. ; 12. ; 13. ; 14. 2或 ; 15. ; 16. 9.

　　三、解答题：(5大题，共70分)

　　17.(1)由 ，得 ------------3分

　　为锐角， ， -------5分

　　--------------------------6分

　　(2) ---8分

　　又 ， ，得 ， --------------------------10分

　　--------------------------12分

　　(若通过 得出 ，求出 ，

　　未舍去 ， 得两解，扣2分.)

　　18.(1)设点 ，由 得 ， ，

　　由 ，得 ， ------------------------4分

　　即 . ---------------------6分

　　(2)由(1)知 为抛物线 ： 的焦点， 为过焦点 的直线与 的两个交点.

　　①当直线 斜率不存在时，得 ， ， . ---8分

　　②当直线斜率存在且不为0时，设 ，代入 得

　　.设 ，

　　则 ，得 ， ----12分

　　(或 )

　　，此时 ，由 得

　　。 ---------------14分

　　19.解法一：

　　(1)在 中， ， ，

　　∴ ，取 中点 ，

　　， ，

　　在 中， ， ，又 均为锐角，∴ ， ---------------2分

　　，又 外， . ---------------4分

　　(2)∵平面 平面 ，∴ ，过 作 于 ，连结 ，则 ，

　　为二面角 的平面角， ------------------------6分

　　易知 = ，∴ ，

　　二面角 的大小为 . ------------------------9分

　　(其它等价答案给同样的得分)

　　(3) ， 点到平面 的距离，就是 到平面 的距离，-------------------------------11分

　　过 作 于 ，则 ， 的长度即为所求， 由上 (或用等体积 求)----------------------------------14分

　　解法二：

　　如图，建立图示空间直角坐标系.

　　则 ， ， ， ， .

　　(1) (2)利用 ，其中 分别为两个半平面的法向量，

　　或利用 求解.

　　(3)利用 ，其中 为平面 的法向量。

　　20.(1) ，∴ ①

　　又 ，∴ ，即 ②

　　由①②得 ， .又 时，①、②不成立，故 .------2分

　　∴ ，设x1、x2是函数 的两个极值点，则x1、x2是方程 =0的两个根， ，

　　∴x1+x2= ，又∵ A、O、B三点共线， = ，

　　∴ =0，又∵x1≠x2，∴b= x1+x2= ，∴b=0. ----------------6分

　　(2) 时， ， -----------------------7分

　　由 得 ，可知 在 上单调递增，在 上单调递减， . ---------------------9分

　　①由 得 的值为1或2.(∵ 为正整数) -----------------11分

　　② 时，记 在 上切线斜率为2的切点的横坐标为 ，

　　则由 得 ，依题意得 ，

　　得 与 矛盾.

　　(或构造函数 在 上恒正)

　　综上，所求 的值为1或2. -----------------------14分

　　21.(1)∵ 为正数， ①， =1，∴ >0(n∈N*)，……… 1分

　　又 ②，①—②两式相减得 ，

　　∴ 与 同号， ---------------------4分

　　∴ 对n∈N*恒成立的充要条件是 >0. ---------------------7分

　　由 = >0，得 >7　. ---------------------8分

　　(2)证法1：假设存在 ，使得对任意正整数 都有 　.

　　则 ，则 >17　. --------------------9分

　　另一方面， = = ，---------11分

　　∴ ， ，……， ，

　　∴ ，∴ = ， ①

　　--------------------------------14分

　　当m>16时，由①知， ，不可能使 对任意正整数n恒成立，

　　--------------------------------15分

　　∴m≤16，这与 >17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有 　.

　　--------------------------------16分

　　(2)证法2：假设存在m，使得对任意正整数n都有 　.

　　则 ，则 >17　. --------------------9分

　　另一方面， ， ------------------11分

　　∴ ， ，……， ，

　　∴ ， ① -----------------14分

　　当m>16时，由①知， ，不可能使 对任意正整数恒成立，

　　--------------------------15分

　　∴m≤16，这与 >17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有 　。 -----------------------------16分