2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(2)
竞赛讲座02
-整数的整除性
1. 整数的整除性的有关概念、性质
(1) 整除的定义：对于两个整数a、d(d≠0)，若存在一个整数p，使得 成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。
若d不能整除a，则记作d a，如2|6，4 6。
(2) 性质
1) 若b|a，则b|(-a)，且对任意的非零整数m有bm|am
2) 若a|b，b|a，则|a|=|b|;
3) 若b|a，c|b，则c|a
4) 若b|ac，而(a，b)=1((a，b)=1表示a、b互质，则b|c;
5) 若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c;
6) 若c|a，c|b，则c|(ma+nb)，其中m、n为任意整数(这一性质还可以推广到更多项的和)
例1 (1987年北京初二数学竞赛题)x，y，z均为整数，若11|(7x+2y-5z)，求证：11|(3x-7y+12z)。
证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)
而 11|11(3x-2y+3z),
且 11|(7x+2y-5z),
∴ 11|4(3x-7y+12z)
又 (11,4)=1
∴ 11|(3x-7y+12z).
2.整除性问题的证明方法
(1) 利用数的整除性特征(见第二讲)
例2(1980年加拿大竞赛题)设72| 的值。
解72=8×9，且(8，9)=1，所以只需讨论8、9都整除 的值。
若8| ，则8| ，由除法可得b=2。
若9| ，则9|(a+6+7+9+2)，得a=3。
(2)利用连续整数之积的性质
① 任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。
② 任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。
这个性质可以推广到任意个整数连续之积。
例3(1956年北京竞赛题)证明： 对任何整数n都为整数，且用3除时余2。
证明 ∵ 为连续二整数的积,必可被2整除.
∴ 对任何整数n均为整数,
∵ 为整数,即原式为整数.
又∵ ，
2n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质，
∴ 是能被3整除的整数.
故 被3除时余2.
例4 一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除.
证明 ∵a2+23=(a2-1)+24，只需证a2-1可以被24整除即可.
∵2 .∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),
则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).
∵k、k+1为二个连续整数，故k(k+1)必能被2整除，
∴8|4k(k+1)，即8|(a2-1).
又∵(a-1)，a，(a+1)为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a(a-1)(a+1)=a(a2-1)，
∵3 a，∴3|(a2-1).3与8互质, ∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.
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2025年中考已于6月21日顺利结束，福建中考网在此祝大家取得好成绩!
今天（6月19日）2025年福建省中考首科语文开考，考生们奔赴考场全力以赴书写青春答卷。刚刚，中考作文题出炉了！
6月19日上午8时30分，2025年福建省中考顺利开考。全省报考人数共计104.2万人，其中，九年级51.6万人、八年级52.6万人。全省共设91个考区、632个考点、18768个考场，共抽调考务人员约8万人。上午考试科目为语文，考场秩序井然。
九载寒窗磨利剑，六月沙场试锋芒。2025年我省中考将于6月19日至21日举行。为了给广大考生营造公平公正的考试环境，确保考试安全平稳有序进行，特作如下提示：
2024年泉州市普通高中最低录取控制线为 482分。这一分数线是全市中考考生数前一定比例（通常为70%左右）的最低成绩划定的，作为考生报考普通高中的最低门槛。
厦门市的综合高中班是在中职学校开设的普高课程班级，其录取分数线通常低于普通高中，但高于部分民办普高。根据2024年的录取情况，厦门三所公办中职学校的综合高中班最低投档分如下：
2024年厦门市中考定向生最低录取分数需根据招生学校普通生最低投档线确定，最多可降至该线下25分，但实际降幅因校而异。具体分数线如下：
2024年厦门市中考普高切线及普通高中最低投档线情况如下：
福州五年制高职学校的最低录取分数线通常根据福州市普高（含综合高中班）最低投档控制线下调一定分数划定。例如，2024年福州五年制高职学校的最低录取分数线为441.5分，这一分数线是根据福州市普高（含综合高中班）最低投档控制线501.5分下调60分划定的。
福州市3+4中本贯通有哪些学校？录取分数线多少？
2024年福州市中综合高中班录取分数线
2024年福州市中考普高切线及普通高中最低投档线
2021年福建省中考于6月25日至27日举行，此前，经过两年的准备和过渡，2021年起全省初中毕业生全面实行新的高中阶段学校考试招生方案，形成基于初中学业水平考试成绩、结合综合素质评价的高中阶段学校考试招生录取模式，促进学生全面发展健康成长，维护教育公平。
2021年部分地区的中考时间已经确定了，不仅学生们都在把握时间努力在剩下的日子里创造奇迹，家长朋友们也在用自己的方式给他们加油打气。在中国，中考和高考都是很重要的，都是孩子们的新的起点，所以家长和学校老师都很在意中考分数线，现在也有一些专业人士根据往年情况对中考分数线以及最低分数线做出了预测，大家一起来了解一下2021年中考分数线是多以及2021年中考最低分数线的内容。