一、典型例题

例1(2005重庆)如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD=∠ACD,∠BDE=∠CDE.求证：BD=CD。

例2(2005南充)如图2-4-1，⊿ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点.(1)求证：DF是⊙O的切线.(2)若AE=14，BC=12，求BF的长.

例3.用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.

(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.

(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.

二、强化训练

练习一：填空题

1.一个三角形的两条边长分别为9和2，第三边长为奇数，则第三边长为 .

2.已知∠a=60°,∠AOB=3∠a,OC是∠AOB的平分线,则∠AOC = ___ .

3.直角三角形两直角边的长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为

4.等腰Rt△ABC, 斜边AB与斜边上的高的和是12厘米, 则斜边AB= 厘米.

5.已知：如图△ABC中AB=AC, 且EB=BD=DC=CF, ∠A=40°, 则∠EDF的度数为________.

6.点O是平行四边形ABCD对角线的交点，若平行四边行ABCD的面积为8cm，则△AOB的面积为 .

7.如果圆的半径R增加10% , 则圆的面积增加_________ .

8.梯形上底长为2，中位线长为5，则梯形的下底长为 .

9. △ABC三边长分别为3、4、5，与其相似的△A′B′C′的最大边长是10，则△A′B′C′的面积是 .

10.在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=30°，那么AD等于 .

练习二：选择题

1.一个角的余角和它的补角互为补角，则这个角等于 [ ]

A.30°　 B.45°　 C.60°　　 D.75°

2.将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是 [ ]

A.矩形 B.三角形

C.梯形 D.菱形

3.下列图形中，不是中心对称图形的是 [ ]

A. B. C. D.

4.既是轴对称，又是中心对称的图形是 [ ]

A.等腰三角形　　　　 B.等腰梯形

C.平行四边形　　　　 D.线段

5.依次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是 [ ]

A.矩形　 B.正方形 C.菱形　 　 D.梯形

6.如果两个圆的半径分别为4cm和5cm,圆心距为1cm，那么这两个圆的位置关系是 [ ]

A.相交　　 B.内切　　 C.外切　　 D.外离

7.已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm,那么扇形的面积为 [ ]

8.A.B.C三点在⊙O上的位置如图所示，

若∠AOB=80°，则∠ACB等于 [ ]

A.160° B.80°

C.40° D.20°

9.已知：AB∥CD，EF∥CD,且∠ABC=20°，∠CFE=30°,则∠BCF的度数是[ ]

A.160° B.150° C.70° D.50°

(第9题图) (第10题图)

10.如图OA=OB，点C在OA上，点D在OB上，OC=OD，AD和BC相交于E，图中全等三角形共有 [ ]

A.2对　　 B.3对　　 C.4对　　　 D.5对

练习三：几何作图

1.下图左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同。

2. 正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上;②连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC，请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。

3.将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化.

(1)沿y轴正向平移2个单位;(2)关于y轴对称;

4. 如图, 要在河边修建一个水泵站, 分别向张村, 李村送水.修在河边什么地 方, 可使所用的水管最短?(写出已知, 求作, 并画图)

练习四：计算题

1.求值：cos45°+ tan30°sin60°.

2.如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=4cm ,AD=cm.

(1)判定△AOB的形状. (2)计算△BOC的面积.

3. 如图,某厂车间的人字屋架为等腰三角形,跨度AB=12米,∠A=30°,求中柱CD和上弦AC的长(答案可带根号)

4.如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm, BC=10cm ,求AE的长.

练习五：证明题

1.阅读下题及其证明过程：

已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，

求证：∠BAE=∠CAE.

证明：在△AEB和△AEC中，

∴△AEB≌△AEC(第一步)

∴∠BAE=∠CAE(第二步)

问：上面证明过程是否正确?若正确，请写出每一步推理根据;若不正确，请指出错在哪一步?并写出你认为正确的推理过程;

2. 已知：点C.D在线段AB上，PC=PD。请你添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明。所加条件为_____，你得到的一对全等三角形是△___≌△___。

证明：

3.已知：如图 , AB=AC , ∠B=∠C.BE、DC交于O点.

求证：BD=CE

练习六：实践与探索

1.用两个全等的等边△ABC和△ACD拼成如图的菱形ABCD。现把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合。将三角板绕点A逆时针方向旋转。

(1)当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时(图a)

①猜想BE与CF的数量关系是__________________;

②证明你猜想的结论。

(2)当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时(图b),连结EF，判断△AEF的形状，并证明你的结论。

2.如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1;再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……，如此进行下去得到四边形AnBnCnDn。

(1)证明：四边形A1B1C1D1是矩形;

·仔细探索·解决以下问题：(填空)

(2)四边形A1B1C1D1的面积为____________ A2B2C2D2的面积为___________;

(3)四边形AnBnCnDn的面积为____________(用含n的代数式表示);

(4)四边形A5B5C5D5的周长为____________。

3.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点C的坐标是(4，0)。

(1)直接写出A、B两点的坐标。A ______________ B____________

(2)若E是BC上一点且∠AEB=60°，沿AE折叠正方形ABCO，折叠后点B落在平面内点F处，请画出点F并求出它的坐标。

(3)若E是直线BC上任意一点，问是否存在这样的点E，使正方形ABCO沿AE折叠后，点B恰好落在轴上的某一点P处?若存在，请写出此时点P与点E的坐标;若不存在，请说明理由。