2015厦门中考数学模拟试题

样卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. 下列事件中，属于必然事件的是
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
   B．某射击运动员射击一次，命中靶心
C．在只装了红球的袋子中摸到白球
   D．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面点数是3
2. 在下列图形中，属于中心对称图形的是
A. 锐角三角形        B. 直角三角形        C. 钝角三角形   D. 平行四边形
3.二次函数y＝(x－2)2＋5的最小值是
    A. 2                 B. －2               C. 5             D. －5

4. 如图1，点A在⊙O上，点C在⊙O内，点B在⊙O外，
则图中的圆周角是
A. ∠OAB    B. ∠OAC      C. ∠COA     D. ∠B
5. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是
    A．3x＋1＝0       B．x2＋3＝0       C．3x2－1＝0      D．3x2＋6x＋1＝0
6. 已知P（m，2m＋1）是平面直角坐标系的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数
解析式可以是
    A.y＝x     B．y＝2x            C．y＝2x＋1               D．y＝12x－12
7. 已知点A（1，2），O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是
    A. （－2,1）   B. （2, －1）  C. （－1,2）    D.（－1, －2）

8.抛物线y＝(1－2x)2＋3的对称轴是
   A. x＝1        B. x＝－1      C. x＝－12        D. x＝12 
9. 青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，设水稻每公顷产量的年平均增长率为
x，则2012年平均每公顷比2011年增加的产量是
A. 7200(x＋1)2 kg   B．7200(x2＋1) kg   C．7200(x2＋x) kg  D．7200(x＋1) kg
10. 如图2，OA，OB，OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB＝2∠BOC.
则下列结论正确的是
   A. AB＝2BC              B. AB＜2BC  
C. ∠AOB＝2∠CAB       D. ∠ACB＝4∠CAB 
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，且落在圆盘内，则飞镖落在白色区域的概率是       .
12. 方程x2－x＝0的解是           ．
13. 已知直线y＝kx＋b经过点A（0，3），B（2，5），则k＝　　　，b＝　　　．
14. 抛物线y＝x2－2x－3的开口向     ；当－2≤x≤0时，y的取值范围是           ．
15. 如图3，在⊙O中， BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，
若∠P＝50°，则∠AOD＝          ．

16. 一块三角形材料如图4所示，∠A＝∠B＝60°，用这块材料剪出一个矩形DEFG，其中，点D，E分别在边AB，AC上，点F，G在边BC上．设DE＝x，
矩形DEFG的面积s与x之间的函数解析式是 s＝－32x2＋3x，
则AC的长是      ．

三、解答题（本大题有11小题，共86分）
17.（本题满分7分）如图5，已知AB是⊙O的直径，点C 在⊙O上，若∠CAB＝35°，求∠ABC的值．

18.（本题满分7分）在平面直角坐标系中，已知点A（－4,2），B（－4,0），C（－1, 1）,
请在图6上画出△ABC，并画出与△ABC关于
原点O对称的图形．

19.（本题满分7分）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如下表所示：     
郊县 人数/万 人均耕地面积/公顷
A 20       0.15
B    5       0.20
C    10       0.18
     求甲市郊县所有人口的人均耕地面积（精确到0.01公顷）．

20.（本题满分7分）解方程x2＋2x－2＝0．

21.（本题满分7分）画出二次函数y＝x2的图象．

22.（本题满分7分）如图7，已知△ABC是直角三角形，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将
线段BA绕点B逆时针旋转90°，设点A旋转后的对应点是点A1，
根据题意画出示意图并求AA1的长．

23.（本题满分7分）如图8，在四边形ABCD中，AD∥BC，
    AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N．若∠BAD＝∠BCD，
    AM＝AN，求证四边形ABCD是菱形．

图8
24.（本题满分7分）工厂加工某种零件，经测试，单独加工完成这种零件，甲车床需用x小时，
乙车床需用 (x2－1)小时，丙车床需用(2x－2)小时. 加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同？请说明理由.
25.（本题满分7分）已知A（x1，y1），B （x2，y2）是反比例函数y＝kx图象上的两点，
     且x1－x2＝－2，x1•x2＝3，y1－y2＝－43．当－3＜x＜－1时，求y的取值范围．
26．（本题满分11分）当m，n是正实数，且满足m＋n＝mn时，就称点P（m，mn）为“完美点”．已知点A（0，5）与点M都在直线y＝－x＋b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上．
（1）点（3，2）是否是“完美点”，并说明理由；
（2）若MC＝3，AM＝42，求△MBC的面积．

27．（本题满分12分）已知□ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．
    （1）如图9，若PE＝3，EO＝1，求∠EPF的度数；
    （2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，
BF ＝BC＋32－4，求BC的长．

图9

 参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
 
题号 1  2 3   4   5   6  7 8 9 10
选项 A  D  C B   D   C A  D C B
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
 11. 14.         12. 0，1.       13.1，3.       14. 上，－3≤y ≤5.      
 15. 80°.      16.  2. 
三、解答题（本大题有11小题，共86分）

17.    解: ∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.
          在直角三角形ABC中，
∵∠CAB＝35°，
          ∴∠ABC＝55°.     

18.

19. 解：     20×0.15＋5×0.20＋10×0.1820＋5＋10          
            ≈0.17（公顷/人）.                    
            ∴ 这个市郊县的人均耕地面积约为0.17公顷.   
      
                        
20.解：∵a＝1，b＝2，c＝－2，
           ∴ △＝b2－4ac
＝12.                        
          ∴ x＝－b±b2－4ac2a
＝－2±122.                  

          ∴x1＝－1+3，x2＝－1－3．    
 21. 解：
    
x －2 －1 0 1 2
y 4 2 0 1 4
        

22.解：画示意图                          
∵线段BA1是线段BA绕点B逆时针旋转90°所得，
    ∴ BA1＝BA，且∠ABA1＝90°．
连接AA1，则△ABA1是等腰直角三角形．         
        在Rt△ABC中，
        AB2＝BC2+AC2, 
           ＝9+16
           ＝25．
        ∴AB＝5．        
        ∴ AA12＝AB2+ A1B2
                      ＝25+25
              ＝50 ．
∴AA1＝52．   

23.     证明1：∵AD∥BC，
∴∠BAD＋∠B＝180°. 
 ∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BCD＋∠B＝180°. 
            ∴ AB∥DC.
             ∴四边形ABCD是平行四边形.        
∴∠B＝∠D.                   
              ∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，
               ∴Rt△ABM≌Rt△ADN.           
               ∴AB＝AD.                     
           ∴平行四边形ABCD是菱形.       
       证明2：连接BD，
∵AD∥BC， 
∴∠ADB＝∠DBC.                
∵∠BAD＝∠BCD， BD＝BD.
              ∴△ABD≌△CDB.                 
               ∴ AD＝BC.                      
               ∴四边形ABCD是平行四边形.    
               ∴∠ABC＝∠ADC.   
              ∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，
               ∴Rt△ABM≌Rt△ADN.      
               ∴AB＝AD.                 
           ∴  平行四边形ABCD是菱形  

证明3：连接AC，∵AM＝AN，AC＝AC，AM⊥BC，AN⊥DC， 
           ∴Rt△ACM≌Rt△ACN.    
           ∴∠ACB＝∠ACD.
∵AD∥BC，
           ∴∠ACB＝∠CAD，
           ∴∠ACD＝∠CAD.
           ∴DC＝AD.                     
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAC＝∠ACD.               
∴AB∥DC.                      
∴四边形ABCD是平行四边形.    
              ∴ 平行四边形ABCD是菱形.       
24.解1：不相同. 
若乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同，由题意得, 
1x2－1＝12x－2 . 
∴  1x＋1＝12. 
∴  x＝1. 
经检验，x＝1不是原方程的解. ∴ 原方程无解. 
答：乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不相同.
     解2：不相同. 
若乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同，由题意得,
x2－1＝2x－2. 
解得，x＝1. 
此时乙车床的工作时间为0小时，不合题意. 
答：乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不相同. 
25．解1：y1－y2＝kx1－kx2                        
＝kx2－kx1x1•x2＝k(x2－x1)x1•x2.            
        ∵  x1－x2＝－2，x1•x2＝3，y1－y2＝－43
∴  －43＝2k3.
         解得      k＝－2.                       
                ∴ y＝－2x.
           ∴当 －3＜x＜－1时，23＜y＜2.        
      解2：依题意得x1－x2＝－2，x1•x2＝3.               
            解得  x1＝1，x2＝3.或x1＝－3，x2＝－1.           
            当x1＝1，x2＝3时，y1－y2＝k－k3＝2k3，     
            ∵ y1－y2＝－43，∴k＝－2.
            当x1＝－3，x2＝－1时，y1－y2＝－k3＋k＝2k3，
∵ y1－y2＝－43，∴k＝－2.             
            ∴ k＝－2.                          
∴ y＝－2x.
            ∴当 －3＜x＜－1时，23＜y＜2.        

26． （1）点（3，2）是“完美点” .
      ∵ m＋n＝mn且m，n是正实数，
   ∴ mn＋1＝m.即mn＝m－1.
   ∴P（m，m－1）.
           ∴点（3，2）是“完美点” .

（2）解1：由（1）得
     P（m，m－1）.         
     即“完美点”P在直线y＝x－1上.  
             ∵点A（0，5）在直线y＝－x＋b上，
∴ b＝5.                 
             ∴ 直线AM： y＝－x＋5.          
             ∵ “完美点”B在直线AM上，
            由  y＝x－1，y＝－x＋5.解得  B（3，2）.
            ∵ 一、三象限的角平分线y＝x垂直于二、四象限的角平分线y＝－x，
而直线y＝x－1与直线y＝x平行，直线y＝－x＋5与直线y＝－x平行，
             ∴直线AM与直线y＝x－1垂直.
∵ 点B是y＝x－1与直线AM的交点，∴ 垂足是B.
  ∵点C是“完美点”，
∴点C在直线y＝x－1上.         
∴△MBC是直角三角形.           
∵ B（3，2），A（0，5），
∴ AB＝32.                         
∵AM＝42，
∴ BM＝2. 
又∵ CM＝3
∴ BC＝1 .                      
∴S△MBC＝22.                 
解2： ∵ m＋n＝mn且m，n是正实数，
     ∴ mn＋1＝m.即mn＝m－1.
   ∴P（m，m－1）.     ……1分
     即“完美点”P在直线y＝x－1上.  
             ∵点A（0，5）在直线y＝－x＋b上，
∴ b＝5.                
             ∴ 直线AM： y＝－x＋5.          
     设“完美点”B（c，c－1），即有c－1＝－c＋5，
∴B（3，2）.                       
∵ 直线AM与x轴所夹的锐角是45°，
直线y＝x－1与x轴所夹的锐角是45°，
             ∴直线AM与直线y＝x－1垂直，
∵ 点B是y＝x－1与直线AM的交点，∴ 垂足是B.
  ∵点C是“完美点”，
∴点C在直线y＝x－1上.          
∴△MBC是直角三角形.             
∵ B（3，2），A（0，5），
∴ AB＝32.                         
∵AM＝42，
∴ BM＝2. 
又∵ CM＝3
∴ BC＝1.                          
            ∴S△MBC＝22.                  

27．（1）解1：连结PO , 
∵ PE＝PF，PO＝PO，
PE⊥AC、PF⊥BD，
∴ Rt△PEO≌Rt△PFO.
∴ ∠EPO＝∠FPO.   
在Rt△PEO中，        
tan∠EPO＝EOPE＝33，   
∴ ∠EPO＝30°. 
∴ ∠EPF＝60°. 
     解2：连结PO ,
在Rt△PEO中，
PO＝3＋1 ＝2.
∴ sin∠EPO＝EOPO＝12.
∴ ∠EPO＝30°. 
在Rt△PFO中，cos∠FPO＝PFPO＝32，∴∠FPO＝30°.
∴ ∠EPF＝60°. 
     解3：连结PO ,
∵  PE＝PF，PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，
∴ OP是∠EOF的平分线.
∴ ∠EOP＝∠FOP. 
在Rt△PEO中，
tan∠EOP＝PEEO＝3
∴ ∠EOP＝60°，∴ ∠EOF＝120°.
又∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴ ∠EPF＝60°. 
（2）解1：∵点P是AD的中点，∴ AP＝DP.
又∵ PE＝PF，∴ Rt△PEA≌Rt△PFD.
∴ ∠OAD＝∠ODA.
∴ OA＝OD. 
∴ AC＝2OA＝2OD＝BD.
∴□ABCD是矩形.  
∵ 点P是AD的中点，点F是DO的中点，
∴ AO∥PF. 
∵ PF⊥BD，∴ AC⊥BD.
∴□ABCD是菱形. 
∴□ABCD是正方形. 
∴ BD＝2BC. 
∵ BF＝34BD，∴BC＋32－4＝324BC.
解得，BC＝4. 
     解2：∵ 点P是AD的中点，点F是DO的中点，
∴ AO∥PF. 
∵ PF⊥BD，∴ AC⊥BD.
∴□ABCD是菱形. 
∵ PE⊥AC，∴ PE∥OD. 
∴ △AEP∽△AOD.
∴ EPOD＝APAD＝12.
∴ DO＝2PE.
∵ PF是△DAO的中位线，
∴ AO＝2PF.
∵ PF＝PE，
∴ AO＝OD. 
∴ AC＝2OA＝2OD＝BD.
∴ □ABCD是矩形. 
∴ □ABCD是正方形. 
∴ BD＝2BC.
∵ BF＝34BD，∴BC＋32－4＝324BC.
解得，BC＝4. 
     解3：∵点P是AD的中点，∴ AP＝DP.
又∵ PE＝PF， ∴ Rt△PEA≌Rt△PFD.  
∴ ∠OAD＝∠ODA.
∴ OA＝OD. 
∴ AC＝2OA＝2OD＝BD.
∴□ABCD是矩形.  
∵点P是AD的中点，点O是BD的中点，连结PO.
∴PO是△ABD的中位线，
∴ AB＝2PO. 
∵ PF⊥OD，点F是OD的中点，
∴ PO＝PD.
∴ AD＝2PO.
∴ AB＝AD. 
∴□ABCD是正方形.  
∴ BD＝2BC.
∵ BF＝34BD，∴BC＋32－4＝324BC.
解得，BC＝4. 
     解4：∵点P是AD的中点，∴ AP＝DP.
又∵ PE＝PF， ∴ Rt△PEA≌Rt△PFD.
∴ ∠OAD＝∠ODA.
∴ OA＝OD. 
∴ AC＝2OA＝2OD＝BD.
∴□ABCD是矩形.  
∵PF⊥OD，点F是OD的中点，连结PO.
∴PF是线段OD的中垂线，
又∵点P是AD的中点，
∴PO＝PD＝12BD
∴△AOD 是直角三角形, ∠AOD＝90°.
∴□ABCD是正方形. 
∴ BD＝2BC.
∵ BF＝34BD，∴BC＋32－4＝324BC.
解得，BC＝4.