附录 1：题型示例 （容易题）1． 0 2016 =【B】 A．0 B．1 C．-2015 D．2015
（容易题）2．某市地下调蓄设施的蓄水能力达到 140000 立方米．将 140000 用科学记数法表示 应为【B】 A．14×104 B．1．4×105 C．1．4×106 D．0．14×106 （容易题）3．A,B 是数轴上两点,线段 AB 上的点表示的数中,有互为相反数的是【B】
A． B．
C． D．
（容易题）4．2x3可以表示为【A】
A．x3＋x3 B．x3·x3 C．2x·2x·2x D．8x
（容易题）5． 不等式组
2x＜6， x＋1≥－4 的解集是【A】
A．－5≤x＜3 B．－5＜x＜3 C．x≥－5 D．x＜3 （容易题）6．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是【C】
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
（容易题）7．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是【A】
第7题 俯视图
主视图 左视图
2 0 1 BA 1 1  0 1 2 BA
0 2 3 BA 1 0 2 3 BA 1
55
A．圆锥 B．圆柱
C．三棱锥 D．长方体
（容易题）8．如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④
的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，
则取走的正方体是（ ）【A】
A．① B．② C．③ D．④
（容易题）9．如图所示的几何体的俯视图是【B】
（容易题）10．在端午节到来之前，学校食堂推荐了 A，B，C 三家粽子专卖店，对全校师生爱吃
哪家的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购．下面的统计量中最值得关注的是【D】
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 （容易题）11． 如图，点 E，F 在线段 BC 上，△ABF 与△DEC 全等，点 A 与点 D，
点 B 与点 C 是对应顶点，AF 与 DE 交于点 M，则∠DEC＝【D】
A． ∠B B． ∠A C． ∠EMF D． ∠AFB （容易题）12．△ABC 中，AB<BC，用尺规作图 ．．．．在 BC 上取一点 P，使 PA+PC=BC，
则下列作法正确的是【D】
C DBA正 面
第 9 题
第 8 题
第 11 题
56
第15题
（容易题）13． 如图，是在直角坐标系中围棋子摆出的图案，若再摆放一黑一白两枚棋子，使 9
枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则这两枚棋子的坐标是【A】
A．黑（3，3），白（3，1）
B．黑（3，1） ，白（3，3）
C．黑（1，5） ，白（5，5）
D．黑（3，2），白（3，3） （容易题）14． 如图，DE 是△ABC 的中位线，过点 C 作 CF ∥BD 交 DE 的延长线于
点 F，则下列结论正确的是【B】
A． EF＝CF B． EF＝DE C． CF＜BD D． EF＞DE
（容易题）15．如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若测得 AM
的长为 1．2km，则 M，C 两点间的距离为【D】
A．0．5km B．0．6km
C．0．9km D．1．2km
（容易题）16．已知三个数 a、b 、 c 的平均数是 0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能 ．．．是（ ）
【D】
（中等题）17．如图，用十字形方框从日历表中框出 5 个数，已知这 5 个数的和为 5a-5，a 是方框①,
②, ③, ④中的一个数，则数 a 所在的方框是（ ） 【C】
A．① B．②
C．③ D．④
第 13 题
第 14 题
第 17 题
57
（中等题）18． 动物学家通过大量的调查估计，某种动物活到 20 岁的概率为 0．8，
活到 25 岁的概率为 0．6，则现年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率是【B】
A．0．8 B．0．75 C．0．6 D．0．48 （中等题）19 已知△ABC 的周长是 l，BC＝l－2AB，则下列直线一定为△ABC 的对称轴的是【C】 A．△ABC 的边 AB 的中垂线 B．∠ACB 的平分线所在的直线 C．△ABC 的边 BC 上的中线所在的直线 D．△ABC 的边 AC 上的高所在的直线
（中等题） 20．已知甲、乙两个函数图像上部分点的横坐标 x 与对应的纵坐标 y 分别如下表所示．若
这两个函数图像仅有一个交点，则交点的纵坐标 y 是【D】
A．0 B．1
C．2 D．3
（中等题）21．平面直角 坐标系中，已 知□ABCD 的三个顶 点坐标分别是 A（m，n），
B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点 D 的坐标是 【A】
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
（中等题）22．已知二次函数 2 y ax bx c    的图像如图所示，下列结论正确的是【D】 A． 0 a B． 0 c C． 2 4 0 b ac   D． 0 a b c   
x 1 2 3 4 y 0 1 2 3
x －2 2 4 6 y 0 2 3 4
甲 乙
第 22 题
58
（中等题）23． 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将 △ABC 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 D 处，EF 为折痕，若 AE＝3，
则 sin∠BFD 的值为【A】
A．
3 1
B．
3 22
C．
4 2
D．
5 3
（稍难题）24．已知点 A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个 函数图像上 ，
这个函数 图像可以是【C】
A B C D
（稍难题）25． 如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，2），在 x 轴上任 取一点 M，完成以下作图步骤：①连接 AM，作线段 AM 的垂直平分线 l1， 过点 M 作 x 轴的垂线 l2，记 l1，l2的交点为 P；②在 x 轴上多次改变点 M 的位置，用①的方法得到相应的点 P，把这些点用平滑的曲线顺次连接起 来，得到的曲线是【B】 A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支
（稍难题）26．设 681×2019－681×2018＝a，2015×2016－2013×2018＝b， 6782＋1358＋690＋678 ＝c，则 a，b，c 的大小关系是【A】 A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
（容易题）27．计算：  3 279 ．【0】
（容易题）28．分解因式： m mx  2 = ． 【   ) 1(1  xxm 】
（容易题）29．计算：     1 3 1 3 mm m ． 【3】
第 23 题
第 25 题
xO
y
O
y
x O
y
x
O
y
x
59
第 33 题
（容易题）30．说明命题“ 4 x  ，则 2 16 x  ”是假命题的一个反例可以
是 ．
【答案不唯一，如“0 4  ，而 2 0 16  ”】
（容易题）31．如图 4，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是边
AD 的中点，若 AC＝10，DC＝2 5，则∠EBD 的大小约为 ． （参考数据：tan26°34′≈1 2 ） 【18 度 26 分】 （容易题）32．写出一个 y 关于 x 的二次函数的解析式，且它的图像的顶点在 y 轴上： ． 【如 2 xy  （只要 c bxa xy   2 中 0 ,0  ba 即可）】
（容易题）33．右图是由射线 AB，BC，CD，DE，组成的平面图形，
则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_____．【360°】 （容易题）34．一个不透明的袋子中有 3 个红球和 2 个黄球，这些球除颜色外完
全相同．从袋子中随机摸出 1 个球，这个球是黄球的概率为 ．【
5 2
】
（容易题）35．如图，将一副三角尺叠放在一起，则图中∠α的度数为 °．【75】 （中等题）36．如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在边 BC 上，连接 AD，将线段 AD
绕点 A 逆时针旋转到 AE，使得∠DAE=∠BAC，连接 DE 交 AC 于 F．请写出图中一对相似的三
角形： ． （只要写出一对即可） 【如：△AFE∽△DFC，△ABD∽△AEF，△ABD∽△DCF， △ADF∽△ACD，△ABC∽△ADE；】 （中等题）37．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为 r 上，下方的弧半径为 r 下，
4 6 

第35题

O

E
 
图6

D

C

B

A
第31题
60
则 r 上 r 下． （填“＞”“=”“＜”）【＜】 （中等题）38．如图，正方形 ABCD 中，点 E 、 F 分别为 AB、CD 上的点，且 AB CFA E 3 1 ， 点 O 为线段 EF 的中点，过点 O 作直线与正方形的一组对边分别交于 P 、 Q 两点，并且满足 PQ=EF．则这样的直线 PQ（不同于 EF）有 条．【3】
（中等题）39．公元 3 世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式 a2＋r≈a＋ r 2a
得到 2的近似
值 ． 他 的 算 法 是 ： 先 将 2看 成 12＋1， 由 近 似 公 式 得 2≈1＋ 1 2×1
＝3 2
； 再 将 2看 成
（3 2
）2＋（－1 4
），由近似公式得 2≈3 2
＋
－1 4 2×3 2
＝17 12
；…依此算法，所得 2的近似值会越来越精
确．当 2取得近似值577 408 时，近似公式中的 r 是 ． 【－ 1 144
】
（稍难题）40．如图，6 个形状，大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱
形的一个内角为 60°，A，B，C 都在格点上，则 tan ABC  的值是 ． 【 3 2
】 （稍难题）41．如图，⊙O 的弦 BC 长为 8，点 A 是⊙O 上一动点，且∠BAC=  45 ，点 D，E 分
别是 BC， AB的中点，则DE长的最大值是 ． 【 2 4 】
（稍难题）42．已知点 P（m，n）在抛物线 y＝ax2－x－a 上，当 m≥－1 时，总
A
B C
E
D
FO
第38题E
B
A
CD
F
第36题
第 37 题
第 40 题
A
B
C
A
B A
C
D A
E A
O A 第 41 题
→

图5

A

B

C

O
第 43 题
61
有 n≤1 成立，则 a 的取值范围是 ．【－1 2
≤a＜0】
（稍难题） 43．如图，已知∠ABC＝90°， AB＝πr， BC＝πr 2
，半径为 r 的⊙O 从点 A 出发，沿 A→B→C
方向滚动到点 C 时停止．则圆心 O 运动的路程是 ． 2πr
（容易题）44．计算：10＋8×(－1 2
)2－2÷1 5 ．
解： 10＋8×(－1 2
)2－2÷1 5
＝10＋8×1 4
－2×5
＝10＋2－10 ＝2． （容易题）45．计算： 2 0 2 2cos60 (3.14 π)     o ．
解：原式=
1 1 2 1 4 2    1 4  ．
（容易题）46．化简： ) 4()2( 2   x xx ．
解：原式= x xxx 4 44 22   =4 （容易题）47．先化简，再求值： 2 1( 1 )
1
x
x x  

，其中 5 1 x  ．
解：原式= 1
( 1)( 1) x x x x x     = 1 1x  ． 当 5 1 x  时， 原式= 1 5 1 1   = 1 5 = 5 5 ．
62
（容易题）48．解方程组
x＋y＝1， 4x＋y＝－8．
解：
x＋y＝1， 4x＋y＝－8． ②－①，得 3x＝－9， x＝－3 将 x＝－3 代入①，得 y＝4．
则这个方程组的解是
x＝－3， y＝4．
（容易题）49．解不等式
71 2 3 x x    ，并把解集在数轴上表示出来．
解：3x﹣6≤2（7﹣x） ． 3x﹣6≤14﹣2x． 3x+2x≤14+6． 5x≤20． x≤4．
把不等式解集在数轴上表示为
（容易题）50．解方程：
2 1
1
x
x x  

．
解： ( ) ( ) 2 2 1 1 x x x x + = + 2 22 2x x x x + = + 2x =
经检验 2 x=- 是原方程的解．
①
②
0 1 2 3 4 54 -3 -2 -1
63
（容易题） 51．如图，在□ABCD 中，BC＝10，AC＝8，BD＝14．求△AOD 的 周
长．
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝BC＝10， AO＝1 2 AC＝4， DO＝1 2 BD＝7． ∴△AOD 的周长＝10＋4＋7＝21．
（容易题）52．已知：如图，B，A，E 在同一直线上，AC∥BD 且 AC=BE，∠ABC=∠D． 求证：AB=BD． 证明：∵AC∥BD， ∴∠CAB=∠EBD． 在△CAB 和△EBD 中
∵
,
,
.
CAB EBD ABC D AC BD ìÐ =Ð ï ï ï ïÐ =Ð í ï ï ï = ï î ∴△CAB≌△EBD． ∴AB=BD．
（容易题）53．如图，已知四边形 ABCD．请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件， 推出四边形 ABCD是平行四边形，并予以证明． 关系：① AD∥BC，② CD AB ， ③   180 CB ，④ C A   ． 已知：在四边形 ABCD中， ， ， （填序号，写出一种情况即可） 求证：四边形 ABCD是平行四边形．
情形一：选择 ①，③ 证明：∵   180 CB ，
A
B C
D
第53题
第51题
第 52 题
64
∴AB∥DC ． 又∵ AD∥BC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 情形二：选择 ①，④ 证明：∵ AD∥BC， ∴   180 BA ． 又∵ C A   ， ∴   180 BC ． ∴AB∥DC ． ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 情形三：选择 ②，③ 证明：∵   180 CB ， ∴AB∥DC ． 又∵ CD AB ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 情形四：选择 ③，④ 证明：∵   180 CB ， ∴AB∥DC． 又∵ C A   ， ∴   180 BA ． ∴ AD∥BC． ∴四边形 ABCD 是平行四边形．
（容易题） 54．数学课上，老师要求学生证明命题： “角平分线上的点到这个角的两边距离相等”．以 下是小华解答的部分内容（缺少图形和证明过程） ，请你把缺少内容补充完整． 已知：点 P 在∠AOB 的角平分线 OC 上，PD⊥OA 于 D,PE⊥OB 于 E． 求证：PD=PE． 证明： 画图（如图所示） ． 证明：∵OC 平分∠AOB，∴∠1=∠2． ∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠3=∠4=90°． ∵OP=OP, ∴△ODP ≌△OEP． ∴PD=PE．
（容易题）55．某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试，他们的成绩 （百分制）如下表所示．
 

[NextPage]

第 54 题
65
应聘者 面试 笔试 甲 87 90 乙 91 82 若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩 6 和 4 的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被 录取？ 解：由题意得， 甲应聘者的加权平均数是6×87＋4×90 6＋4 ＝88.2． 乙应聘者的加权平均数是6×91＋4×82 6＋4 ＝87.4． ∵88.2＞87.4， ∴甲应聘者被录取．
（容易题）56．A、B 两组卡片共 5 张，A 中三张分别写有数字 2、4、6，B 中两张分别写有 3、5． 它
们除数字外没有任何区别． （1）随机地从 A 中抽取一张，求抽到数字为 2 的概率； （2）随机地分别从 A、B 中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现 制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为 3 的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的
游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
解：（1）P（抽到数字为 2）
3 1 ； （2）不公开，理由如下．画树状图如下：
从树状图中可知共有 6 个等可能的结果， 而所选出的两数之积为 3 的倍数的机会有 4 个． ∴ P（甲获胜） 3 2 6 4  ，而 P（乙获胜）
3 1
3 21   ．
∵ P（甲获胜）>P（乙获胜）, ∴ 这样的游戏规则对甲乙双方不公平．
（容易题）57．某市第三中学组织学生参加生命安全知识网络测试．小明对九年 2 班全体学生的测试 成绩进行统计，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图． 根据图表中的信息解答下列问题： （1）求九年 2 班学生的人数； （2）写出频数分布表中 a,b 的值； （3）已知该市共有 80000 名中学生参加这次安全知识测试，若规定 80 分以上（含 80 分）为优秀， 估计该市本次测试成绩达到优秀的人数； （4） 小明通过该市教育网站搜索发现，全市参加本次测试的中学生中，成绩达到优秀有 56320 人． 请
2
3 5
4
3 5
6
3 5
A
B
66
你用所学统计知识简要说明实际优秀人数与估计人数出现较大偏差的原因． 组别 分数段（x） 频数 A 0≤x＜60 2 B 60≤x＜70 5 C 70≤x＜80 17 D 80≤x＜90 a E 90≤x≤100 b
（1）学生的人数= 17 34%
=50；
（2）a=12，b=14； （3）80000×（24%+28%）=41600； （4）因为只抽查了九年 2 班测试成绩对于全市来讲不具有代表性，而抽查的样本只有 50 名学生， 对于全市 80000 名学生来讲不具有广泛性．
（容易题）58．已知一次函数 y＝kx＋2，当 x＝－1 时，y＝1．求此函数的解析式，并在平面直角
坐标系中画出此函数的图像．
解：把 x＝－1，y＝1 代入 y＝kx＋2，得 1＝（－1）k＋2， k＝1 ． 则函数解析式为 y＝x＋2 ．
列表，得
画图，得
（中等题）59．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，C 是⊙O 外一点，若 AD∥OC，
直线 BC 与⊙O 相交，判断直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
证明：连接 OD，
x 0 －2 y 2 0
D 24%
A
B
C 34%
E
第 59 题
67
∵AD∥OC， ∴∠BOC＝∠OAD， ∠COD＝∠ADO． ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO． ∴∠BOC＝∠COD． ∵OB＝OD，OC＝OC， ∴△BOC≌△DOC． ∴∠OCB＝∠OCD． 即 OC 是∠DCB 的平分线． ∴点 O 到直线 CB，CD 的距离相等，记为 d． ∵直线 BC 与⊙O 相交， ∴d＜OB＝OD． ∴直线 DC 与⊙O 相交． （中等题）60．如图，在△ABC 中，∠C=90，点 O 在 AC 上，
以 OA 为半径的⊙O 交 AB 于点 D，BD 的垂直平分线交 BC 于
点 E，交 BD 于点 F，连接 DE．
（1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 AC=6，BC=8，OA=2，求线段 DE 的长．
解：(1) 直线 DE 与⊙O 相切． 理由如下： 连接 OD． ∵OD=OA，
B
C
O
D
A
第60题
68
∴∠A=∠ODA． ∵EF 是 BD 的垂直平分线， ∴EB=ED． ∴∠B=∠EDB． ∵∠C=90， ∴∠A＋∠B＝90． ∴∠ODA＋∠EDB＝90． ∴∠ODE＝180－90＝90． ∴直线 DE 与⊙O 相切． (2) 连接 OE，设 DE=x，则 EB=ED=x，CE=8-x． ∵∠C=∠ODE=90， ∴ 2 2 2 2 2 OC CE OE OD DE     ． ∴ 2 2 2 2 4 (8 ) 2 x x    ． ∴ 4.75 x ． 即 DE=4.75 ．
（中等题）61．小明家饮水机中原有水的温度是 20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程 中水温 y (℃)与开机时间 x (分)满足一次函数关 系]，当加热到 100℃时自动停止加热，随后水温开 始下降[此过程中水温 y (℃)与开机时间 x(分)成 反比例关系]，当水温降至 20℃时，饮水机又自动 开始加热……，重复上述程序（如图所示）．根据
图中提供的信息，解答下列问题： （1）当 0≤x≤8 时，求水温 y(℃)与开机时间x(分)
的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步 45 分钟回到家时，饮水机内水的
温度约为多少℃？ 解：（1）当 0≤x≤8 时，设水温 y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式为 y kx b   ，
依题意，得
  
  1008 20 bk b
解得
  
 
20 10
b k ∴ 20 10  xy ． （2）在水温下降过程中，设水温 y(℃)与开机时间x(分) 的函数关系式为
x my  ，
20
y(℃) 100
O 8 x(分) t 第61题
69
依题意，得
8 100 m  ，即 800 m ．
∴
x y 800  ． 当 20 y 时，
t 8002 0 ，解得 40 t ． （3）∵45-40=5≤8, ∴当 5 x 时， 70 2051 0  y ． 答：小明在通电开机后外出散步 45 分钟回到家时，饮水机内水温约为 70℃．
（中等题）62．为了迎接北京和张家口共同申办及举办 2020 年冬奥会，全长 174 千米的京张高铁 于 2014 年底开工．按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少 18 分钟，最 快列车时速是最慢列车时速的 29 20 倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？ 解：设京张高铁最慢列车的速度是 x 千米/时．
由题意，得
60 18
20 29 174-1 74  xx
．
解得 180 x ． 经检验， 180 x 是原方程的解，且符合题意． 答：京张高铁最慢列车的速度是 180 千米/时． （中等题）63．已知正比例函数 ) 0(1  aa xy 与反比例函数 )0(2  k x ky 的图像在第一象限内交于点 A（2，1）． （1）求a 、 k的值； （2）在直角坐标系中画出这两个函数的大致图像，
并根据图像直接回答 1 y > 2 y 时x的取值范围． 解：（1）把点 A（2，1）分别代入 y1=ax 和
x ky 2 中得 2 1a ， 2 k ． （2）由图像知，当 y1＞y2时，-2＜x＜0 或 x＞2．
（中等题）64．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是 20 元/千克，根据以往的销售情况描 出销量 y（千克/天）与售价 x（元/千克）的关系，如图所示． （1）试求出 y 与 x 之间的一个函数关系式； （2）利用（1）的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润； ②进口产品检验、运输等过程需耗时 5 天，该“特产”最长的保存期为一个月（30 天），若售价不 低于 30 元/千克，则一次进货最多只能多少千克？
xy 2 1 1 
x y 2 2 
O x
y
第63题
A(2,1)
1
1 2 3 4 512345 2 3 4 5 -1 -2
-4 -5 -3
70
解：（1）从图像中可知，此函数近似为一次函数 设此一次函数解析式为 b kxy   （ 0 k ） ．
依题意得：
  
  324 0 383 7 bk bk
，解得：
  
  112 2
b k ∴y 与 x 之间的函数关系式为 112 2  xy ． （2）①设每天可以获得的销售利润为 w 元，依题意得： ( 20) ( 20)( 2 112) w x y x x      
2
2 2 152 2240 2( 38) 648 x x x      
．
∵ 0 2 ，开口向下, ∴当 38 x 元时，每天可以获得的销售利润 w 取得最大值 648 元． ②设一次进货为 s 千克，依题意得： 25 25( 2 112) 50 2800 s y x x       ． ∵ 0 50 ，s 随 x 的增大而减小，又 30 x ∴当 30 x 时，s 取得最大值 1300． 故一次进货最多只能 1300 千克．
（稍难题）65．对某一个函数给出如下定义：若存在实数 0 M  ，对于任意的函数值 y，都满足 M y M   ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数 的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是 1． （1）分别判断函数 1 y x    0x  和   1 4 2y x x     是 不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； （2）若函数 1 y x     a x b b a    ， 的边界值是 2， 且这个函数的最大值也是 2，求b的取值范围； （3）将函数   2 1 0y x x m m     ， 的图像向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t，当m 在什么范 围时，满足 3 1 4 t  ？ 解：（1） 1( 0) y x x = > 不是有界函数， 1( 4 2) y x x = + - < £ 是有界函数，其边界为 3．
71
（2）∵y=-x+1，∴y 随 x 的增大而减小， ∵a x b b a    ， ，且函数的最大值是 2， ∴当 x=a 时，2=-a+1，a=-1． 当 x=b 时，y=-b+1，
∵
2 1 2, . b b a ì- £- + < ï ï í ï > ï î
∴-1＜b≤3． （3）若 m＞1，函数向下平移 m 个单位，x=0 时，函数的值小于-1，此时函数的边界 t 大于 1，与题意不符，故 m≤1． 当 x=-1 时，y=1；当 x=0 时，ymin=0． 将函数   2 1 0y x x m m     ， 的图像向下平移 m 个单位后，
对应点为（-1,1-m）和(0,-m) ∵ 3 1 1 4 m£ - £ 或 3 1 4 m£- £- ． ∴ 1 0 4 m 或 3 1 4 m ． （稍难题）66．如图，已知点 A（－1，－2），抛物线 F： 2 2 2 2y x mx m    与直线 x=－2 交于点 P． （1）当抛物线 F 经过点 A 时，求它的表达式； （2）设点 P 的纵坐标为 P y ，求 P y 的最小值，此时抛物线 F 上有两点 1 1 ( , ) x y ， 2 2( , )x y ，且 1 2 x x  ≤－2，比较 1 y 与 2 y 的大小； （3）已知点 B（0，2），点 C（2，2） ，当抛物线 F 与线段 BC 有公共点时，直接写 出 m 的取值范围． 解：(1) ∵抛物线 F 经过点 A（－1，－2）， ∴ 2 2 1 2 2 m m     ． ∴m=-1． ∴抛物线 F 的表达式是 2 2 1 y x x    ． (2)当 x=-2 时， 2 4 4 2Py m m    = 2 ( 2) 2 m  ． ∴当 m=-2 时， P y 的最小值=－2． 此时抛物线 F 的表达式是 2 ( 2) 2y x   ． ∴当 2 x 时，y 随 x 的增大而减小． ∵ 1 2 x x  ≤－2， 第 65 题 第 66 题
0 37 39 40
32 34
38
售价 x(元/千克)
销量 y(千克/天)
第 64 题
72
∴ 1 y > 2 y ． (3) 2 0 m   或2 4 m  ．
（稍难题）67．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝－4x＋m相交于第一象限不同的两点： A（5，n） ，B（e，f） ． （1）若 m＝4，x＜1，画出一次函数 y＝－4x＋m 图像； （2）将此抛物线平移，设平移后的抛物线为 y＝－x2＋px＋q 且过点 A， ① 若 b＝4，c＝6，p＝5，是否可以通过平移使抛物线的顶点恰好在直线 y＝－4x＋m 上？请说明理由； ② 若点（1，2）在平移后的抛物线上，且 m－q＝25．在平移过程中，若抛物线 y＝ －x2＋bx＋c 向下平移了 s（s＞0）个单位长度，求 s 的取值范围． 解：（1）由题得，直线解析式为 y＝－4x＋4 ． 列表，得
画图如右． （2）① 解：由题得，平移前的抛物线解析式为 y＝－x2＋4x＋6． 把 A（5，n）代入得，n＝1 ． 把 A（5，1）分别代入 y＝－4x＋m 和 y＝－x2＋5x＋q，得 m＝21，q＝1． ∴直线的解析式为 y＝－4x＋21， 平移后的抛物线解析式为 y＝－x2＋5x＋1． ∴平移后的抛物线的顶点为（5 2
， 29 4 ）． 当 x＝5 2 时，y＝－4x＋21＝11≠29 4 ． ∴不能通过平移，使平移后的抛物线的顶点恰好在直线 y＝－4x＋m 上． ② 解：将 A（5，n）分别代入 y＝－x2＋bx＋c，y＝－4x＋m， 将 A（5，n）， （1，2）分别代入 y＝－x2＋px＋q，得 －25＋5b＋c＝n， －20＋m＝n， －25＋5p＋q＝n， -1＋p＋q＝2 ． 又 m－q＝25 ， 解得 m＝22，n＝2，p＝6，q＝－3，c＝27－5b． ∴直线的解析式为 y＝－4x＋22， 平移前抛物线的解析式为 y＝－x2＋bx＋27－5b ， 平移后抛物线的解析式为 y＝－x2＋6x－3． 设在平移过程中，抛物线向下平移了 s 个单位长度， 又 y＝－x2＋6x－3＝－（x－3）2＋6， y＝－x2＋bx＋27－5b＝－（x－b 2 ）2＋(b2 4 －5b＋27) ，
x 0 1 y 4 0 _ x
_ y
_ O 1
4
y＝－4x＋4（x＜1）
73
∴s＝（b2 4 －5b＋27）－6＝1 4
（b－10）2－4．
当－x2＋bx＋27－5b＝－4x＋22 时，可得 x1＝5，x2＝b－1． ∴B（b－1，－4b＋26） ． ∵A，B 在第一象限且为不同两点， ∴b－1＞0，－4b＋26＞0 且 b－1≠5． ∴1＜b＜13 2 且 b≠6． 对于 s＝1 4 （b－10）2－4． ∵1 4 ＞0，∴当 b＜10 时，s 随 b 的增大而减小． ∵1＜b＜13 2 且 b≠6， ∴－15 16 ＜s＜65 4 且 s≠0． ∵s＞0, ∴0＜s＜65 4 ． ∴在平移过程中，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 向下平移的单位长度 s 的取值范围 是 0＜s＜65 4 ． （稍难题）68．如图，抛物线 C1： x xy 3 23 2  的顶点为 A，与 x 轴的正半轴交于点 B．
（1）将抛物线 C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的 2 倍，求变换后得到的抛物线
的解析式；
（2）将抛物线 C1上的点（x，y）变为（kx，ky） （|k|＞1），变换后得到的抛物线记作 C2．抛
物线 C2的顶点为 C，点 P 在抛物线 C2上，满足 S△PAC＝S△ABC， 且∠ACP＝90°． ①当 k＞1 时，求 k 的值； ②当 k＜-1 时，请你直接写出 k 的值，不必说明理由．
解：（1）∵ 3 )1(3323 2 2   xxxy ，
∴抛物线 C1经过原点 O，A（1， 3）和 B（2，0）三点．
∴变换后得到的抛物线经过原点 O，（2， 3 2 ）和（4，0）三点．
第 68 题
74
∴变换后得到的抛物线的解析式为 x xy 3 2 2 3 2  ．
（2）①当 k＞1 时，∵抛物线 C2经过原点 O， （k， 3k）和（2k，0）三点．
∴抛物线 C2的解析式为 x x k y 3 23 2  ．
∴O，A，C 三点共线，且顶点 C 为（k， 3k） ．
∵S△PAC＝S△ABC， ∴BP∥AC． 过点 P 作 PD⊥x 轴于 D，过 B 作 BE⊥AO 于 E． 依题意得△ABO 是边长为 2 的正三角形，四边形 CEBP 是矩形． ∴OE＝1，CE＝BP＝2k－1．
∴BD＝
2 1k ，PD＝ ) 12( 2 3  k ．
∴P（
2 3k ， ) 12( 2 3  k ）．
∴ 2 3 3 3 3 (2 1) ) 2 3( ) 2 2 2 k k k k      （ ．
解得 k＝
2 9
．
②k＝
2 9 ．
（稍难题） 69．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，m＋1）， B（a，m＋1），C（3，m＋3），D（1，m＋a），m ＞0 ，a＞1． （1）若 AD∥BC ，判断四边形 ABCD 的形状并说明理由；
75
_ y
_ xO
A B
C
D
E
F
G
P
图 2
（2）若 a＜3，点 P（n－m，n）是四边形 ABCD 内 的一点，且△PAD 与△PBC 的面积相等，求 n－m 的值． 解：（1）∵A（1，m＋1），B（a，m＋1）， ∴yA＝yB ． ∴AB∥x 轴． ∵A（1，m＋1），D（1，m＋a）， ∴xA＝xD． ∴AD∥y 轴． ∴∠DAB＝90° ． 又 a＞1， ∴AB＝a－1， AD＝a－1． ∴AD＝AB ． 如图 1， ∵CB∥AD， ∴CB∥y 轴． ∴xC＝xB， ∴a＝3 ． ∴yC＝yD＝m＋3 ． ∴CD∥x 轴． ∴CD∥AB． ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 又∠DAB＝90°， ∴四边形 ABCD 是矩形． 又 AD＝AB， ∴四边形 ABCD 是菱形． ∴四边形 ABCD 是正方形． （2）设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋b， 将 A（1，m＋1），C（3，m＋3）分别代入，可得 k＝1，b＝m． ∴y＝x＋m． ∵当 x＝n－m 时，y＝n－m＋m＝n， ∴点 P（n－m，n）在直线 y＝x＋m 上． 又点 P 在四边形 ABCD 内， ∴点 P 在线段 AC 上． 如图 2，过点 P 作 PE⊥x 轴，交 AB 于点 E，作 PF⊥y 轴，交 AD 于点 F， ∵由（1）得，AB∥x 轴，AD∥y 轴， AD＝AB ， ∴PE＝n－m－1，PF＝n－m－1． ∴PE＝PF． O y
x
A B
C
D
第 69 题
_ y
_ xO
A B
CD
图 1
76
∴S△PAD＝S△PAB ． ∵S△PAD＝S△PBC， ∴S△PAB＝S△PBC． ∴S△PAB＝1 2 S△ABC ． 过点 C 作 CG⊥x 轴，交 AB 延长线于点 G，则 CG＝2． ∵1 2 AB·PE＝1 2 ×1 2 AB·CG． ∴PE＝1 2 CG． ∴n－m－1＝1． ∴n－m＝2．
（稍难题）70．定义：点 P 是四边形 ABCD 内 ．一点，若三角形△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 均
为等腰三角形，则称点 P 是四边形 ABCD 的一个“准中心”． （1）如图 1，已知点 P 是正方形 ABCD 内的一点，且∠PBC=∠PCB=60°，证明点 P 是正边 形 ABCD 的一个“准中心”； （2）（1）中除点 P 外，正方形 ABCD 还有几个“准中心”？并在图 1 中分别画出它们； （3）如图 2，已知∠BAD=60°，AB=AD=6，点 C 是∠BAD 平分线上的动点，问在四边形 ABCD 的对角线 AC 上最多存在几个“准中心”点 P（自行画出示意图），并求出每个“准 中心”点 P 对应线段 AC 的长．（精确到个位） 参考数据： 3 1.7 » ，sin37.5 0.6，cos37.5 0.8，tan37.5 0.8．
解：（1）证明：∵ABCD 是正方形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AB=BC=CD
D
CB
A
P
图1
B
D
图2
A
第70题
77
又∵∠PBC=∠PCB=60°， ∴∠BPC=60°． ∴PB=PC=BC=AB=CD，∠PBA=∠PCD=30°, ∴△PBA≌△PCD，
∴PA=PD ． ∴△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 均为等腰三角形．
∴点 P 是正边形 ABCD 内的一个“准中心”． （2）正方形 ABCD 内还有 4 个“准中心”， （画图略）； （3）答：在四边形 ABCD 的对角线 AC 上最多存在 3 个“准中心”点 P ． ① 如图 1，当 PA=PB=PC=PD 时，点 P 是“准中心”点． ∵∠BAD=60°，点 C 在∠BAD 的平分线上， ∴∠BAC=30°． ∴∠ACB=∠BPC=60°，∠ABC=90°．
则 AC=
6 4 3 sin60 3 2 AB   
．
② 如图 2，当 PA=BA=DA，PB=PC=PD 时，点 P 是“准中心”点． 则 PA=6． ∵∠BAD=60°，点 C 在∠BAD 的平分线上， ∴∠BAC=30°． ∴∠APB=75°,
∴∠PCB=
2 1
∠APB=37．5°．
作 BE⊥AC 于点 E．
在 RtΔAEB 中， 3 2 1  ABB E ，
A
B
C
D
P
图 1
A
B
C
D
P
图 2
E
78
33c os   BAE ABA E ．
在 RtΔCEB 中，




5.3 7t an 3
tan ECB BEC E ,
∴ 9 5.3 7t an 333    CEA EA C ． ③如图 3，当 AB=PB=PC=PD=AD 时，点 P 是“准中心”点． 此时四边形 ABPD 是菱形． 连接 BD，
则 PA=2AE=2AB·cos30°=2×6×
2 3 =6 3,
∴ PC PAA C   16 636   ． （稍难题）71．如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90，点 P 为射线 BD，CE 的交点． （1）求证：BD=CE； （2）若 AB=2，AD=1，把△ADE 绕点 A 旋转， ①当∠EAC=90时，求 PB 的长； ②直接写出旋转过程中线段 PB 长的最小值与最大值． 解：(1)证明：∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90， ∴AB=AC，AD=AE． ∠DAB=90 BAE EAC   ． ∴△ADB≌△AEC． ∴BD=CE ． (2)①如图 1，当点 E 在 AB 上时，BE=AB-AE=1． ∵∠EAC=90，
A
B
C
D
P
图 3
E
第 71 题
图 1
79
∴CE= 2 2 5 AE AC   ． 同(1)可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA ． ∵∠PEB=∠AEC， ∴△PEB∽△AEC ． ∴ PB BE AC CE  ． ∴ 1 2 5 PB  ． ∴ 2 5 5 PB ． ②如图 2，当点 E 在 BA 延长线上时，BE=3． ∵∠EAC=90， ∴ CE= 2 2 5 AE AC   ． 同(1)可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA ． ∵∠BEP=∠CEA， ∴△PEB∽△AEC ． ∴ PB BE AC CE  ． ∴ 3 2 5 PB  ． ∴ 6 5 5 PB ． 综上， 2 5 5 PB 或6 5 5 ． (3)PB 长的最小值是 3 1  ，最大值是 3 1  ．
（稍难题）72．已知正方形 ABCD，点 E 在直线 ．．CD 上．
图 2
80
（1）若 F 是直线 ．．BC 上一点，且 AF⊥AE，求证：AF=AE； （请利用图 1 所给的图形加以证明）
（2）写出（1）中命题的逆命题，并在答题卡指定的区域画出一个图形说明该逆命题是假命题； （3）若点 G 在直线 ．．BC 上，且 AG 平分∠BAE，探索线段 BG
， DE
， AE 之间的数量关系，并说
明理由．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠ADC=∠ABF=∠BAD=90°． ∵AE⊥AF, ∴∠EAF=90°=∠BAD． ∴∠BAF=∠DAE． ∴△ABF≌△ADE ． ∴AF=AE． (2)逆命题一：已知:正方形 ABCD 中，E 为直线 CD 上一点，F 为直线 BC 上一点，且 AF=AE．求证： AE⊥AF．（若写为“若 AF=AE，则 AE⊥AF ．”也可） 画图如下（画出一种即可） ：
逆命题二：已知:正方形 ABCD 中，E 为直线 CD 上一点，AF⊥AE，AF=AE．求证： F 在直线 BC 上． （若写为“若 AF=AE ，且 AE⊥AF，则 F 在直线 BC 上．”也可）
E
F
D
CB
A
E
F
D
CB
A
E
F
D
CB
A
备用图图 1
第 72 题
81
画图如下（画出一种即可）：
逆命题三：已知:正方形 ABCD 中，E 为直线 CD 上一点，AF=AE．求证：F 在 直线 BC 上，且 AE⊥AF．（画图略）
（3）①如图 1，当 E 在线段 CD 上时：AE=DE+BG． 证明：过 A 点作 AF⊥AE 交 BC 延长线于 F 点． 由（1）得△ABF≌△ADE， ∴∠1=∠2，AF=AE，BF=DE． ∵AG 平分∠BAE, ∴∠3=∠4． ∴∠1+∠3=∠2+∠4， 即∠FAG=∠DAG． ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD∥BC， ∴∠AGF=∠DAG=∠FAG． ∴AF=FG． ∴AE=AF=FG=BG+BF． ∴AE=BG+DE． ②如图 2，当点 E 在 CD 延长线上时:BG=DE+AE． 证明：过 A 点作 AF⊥AE 交 BC 延长线于 F 点． 同理可证得 AF=FG=AE，BF=DE． ∴AE=AF=FG=BG－BF=BG－DE．
G
E
F
D
CB
A
2 4
3
1
图 1
1
G
E
F
D
CB
A
2 4
3
图 2
G
E
F
D
CB
A
图 3
E
F
D
CB
A
F
E
F
D
CB
A
E
F
D
CB
A
82
③如图 3，当 E 在 DC 延长线上时:AE=DE+BG，
证明同①．
综上所述，线段 BG 、 DE 、 AE 之间的数量关系是： AE=DE+BG 或 AE=BG－DE．
（稍难题）73．若正方形的两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的 另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形．△ABC 中，设 BC＝a，AC＝b，AB＝c， 各边上的高分别记为 ha，hb，hc，各边上的内接正方形的边长分别记为 xa，xb，xc． （1）模型探究：如图，正方形 EFGH 为△ABC 边 BC 上的内接正方形．
求证：
aa xha 111  ；
（2）特殊应用：若∠BAC＝90°，xb＝xc＝2，求
cb 11  的值； （3）拓展延伸：若△ABC 为锐角三角形，b＜c，请你判断 xb与 xc的大小，并说明理由． 解：（1）在正方形 EFGH 中． ∵EH∥FG，∴△AEH∽△ABC．
∵AD⊥BC，∴
EH AK BC AD  ．
∴
a
aaa h xh a x   ．∴
aa xha 111  ．
（2）由（1）得：
bb xhb 111  ． ∵∠A＝90°， ∴ c hb  ．∴ 2 111  cb ． （3）xb＞xc．
A
B P C
D
图 1
E
第 73 题
83
证明：由（1）得：
bb xhb 111  ，
cc xhc 111  ．
∴
b
b b h b bh
x
  ，
c
c c h c ch
x
  ．
∵S＝ c b chb h 2 1 2 1  ，∴ c b chb h  ＝2S． 又∵ A ch b sin  ， A bh c sin  ，
∴
S xchb
xx
cb cb 2 )(11  
S AbcAcb 2 )s in(s in  

S Acb 2 )s in1) ((    ． ∵b＜c， A sin ＜1，
∴ 0 11   cb xx
． ∴xb＞xc．
（稍难题）74．如图,四边形 ABCD中, // AD BC , 45 B  o ,P 是BC 边上一点, PAD △ 的面积为 1 2 , 设 AB x = ,AD y  ． (1)求 y 与x的函数关系式，并画出该函数的大致图像；
(2)若 90 APD oÐ = ,求 y 的最小值． 解：(1)如图 1,过点 A作 AE BC  于点E． 在Rt ABE △ 中, 45 B  o ,AB x  ． ∴ 2 sin 2A E AB B x    ． ∵ 1 1 2 2A PDS AD AE   △ , ∴ 2 1 1 2 2 2 x y   ． ∴ 2 y x  （x>0）． 画图如右：
(2)如图 2，取 AD 的中点，连接PF ，过点P作PH AD  于点H ． ∵PF PH ≥ ,
A
B P C
D
第 74 题
A
B C
D
P
HF
图 1
84
∴ 2 1 2 2 y x  ． 即 2 2x x  ． 当 2 = 2x x 时，y 有最小值．
此时 x=1，y= 2 ．
∴ y 的最小值为 2 ．
（稍难题）75．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”． 数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒（每根长度记为 1 个单位）中取出若干根，首尾依
次相接组成三角形，进行探究活动． 小亮用 12 根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”； 小颖分别用 24 根和 30 根火柴棒摆出直角“整数三角形”； 小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”． ⑴请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图； ⑵你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果
不能，请说明理由． ①摆出等边“整数三角形”； ②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．
解：⑴小颖摆出如图 1 所示的“整数三角形”：
小辉摆出如图 2 所示三个不同的等腰“整数三角形”：
8
6
10 12
5
13
图 1
4
3 3
5 5 5 5
4 4
3
8 10 10
6 6
图 2
4
3
5
85
⑵①不能摆出等边“整数三角形”．理由如下： 设等边三角形的边长为 a，则等边三角形面积为 2 4 3a ． 因为，若边长 a 为整数，那么面积 2 4 3a 一定非整数． 所以不存在等边“整数三角形”． ②能摆出如图 3 所示一个非特殊“整数三角形”：
4 5
12
15
13
图 3
86
附录 2：
试卷题型参考
（该试卷题型参考与初中学业水平考试试卷的题序安排、考试内容等方面没有对
应关系，仅供学校教学及复习参考）
一、选择题：(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1．绝对值等于 2 的数是
A．－2 或 2 B．－2 C．2 D．
2 1
2.下列计算中，正确的是 A．a＋a11＝a12 B．5a－4a＝a C．a6÷a5＝1 D．(a2)3＝a5 3.下列各式中，从左边到右边属于因式分解的是 A． 2 ( 1)x x x x + = + B． 2 2 1= ( 2) 1 x x x x     C． 2 2 1=x x  （ -1） D． 2 2 6 9=x x x  （ -3） 4.一个多边形的内角和是 540°，则这个多边形是 A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 5．一只不透明的袋子中装有 4 个黑球、2 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出 3 个球，
下列事件为必然事件的是 A. 至少有 1 个球是白球 B. 至少有 1 个球是黑球 C. 至少有 2 个球是黑球 D. 至少有 2 个球是白球
6．如图，某个函数的图像由线段 AB 和 BC 组成，其中点 A（0， 4 3 ），B（1， 1 2 ），C（2， 5 3
），则此函
数的最小值是 A．5 3
B．1
C．1 2
D．0
7．如图，无法 ．．保证△ADE 与△ABC 相似的条件是
（第 6 题）
A
D
B C
E
1
2
（第7题）
87
A．∠1=∠C B．∠A=∠C C．∠2=∠B D． AD AE AC AB  8．如图，在直角坐标系中，点 A 是双曲线 3 y x  （ 0 x ）上的一个动点，点 B 是 x 轴正半轴上的一个定点，当点 A 的横坐标逐渐增大时， OAB △ 的面积
将会 A．逐渐减小 B．不变 C．逐渐增大 D．先减小后增大
9.学校机房今年和去年共购置了 100 台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量 的 3 倍，则今年购置计算机的数量是（ ）． A.25 台 B.50 台 C.75 台 D.100 台 10．如图，C，D 分别是线段 AB，AC 的中点，分别以点 C，D 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交
于点 M，测量∠AMB 的度数，结果为
A．  80 B．  90 C．  100 D．  105
二、填空题：(本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．把答案填在答题卡的相应位置)
11．计算：(-3)0+3-1= ． 12．如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与
数字“2”相对的面上的数字是 ．
13.甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么
三人中成绩最稳定的是 ．
14．已知m，n为两个连续的整数，且 11 m n   ，则m n   . 15．已知△ABC，∠A=30°，∠B=105°，BC=4，则 AB= ．
（第 12 题）
（第 13 题）
(第 8 题)
x
y
O B
A
A B CD
（第 10 题）
88
16．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连
线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形 ABCD，其中 AB=2，BC=4，
CD=3，∠B=∠C=90°，则原三角形纸片的斜边长是 ．
三、解答题：(本大题共 9 小题，共 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（8 分）化简： 3 ( ) 3 x x y xy + - ，并说出化简过程中所用到的运算律.
18．（8 分）解不等式组
2 1 0 2 3 x x x ，ì + >ï ï í ï < + ï î ，并把解集在数轴上表示出来.
19.（8 分）如图，矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为 E，F．[ 求证：BE=CF．
20． （8 分）如图，在△ABC 中，AB＝BC，∠A＝25°，点 D 是边 AB 延长线上的一点．请在图中画 出过点 D 且与 BC 平行的直线 DE，并简述直线 DE 与 BC 平行的理由．
21.（8 分）国务院办公厅在 2015 年 3 月 16 日发布了《中国足球发展改革总体方案》，方案实施后， 为了解足球知识的普及情况，某校举行“足球在身边”的专题调查活动，采取随机抽样的方法 进行问卷调查，调查结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级， 并将调查结果绘制成如下两幅统计图（部分信息未绘出）.
(第 16 题)
D
CB
A
（第 20 题）
（第 19 题）
89
请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补齐条形统计图，并求被调查的学生人数； （2）从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“基本了解”的概率是多少？
22． （10 分）甲乙两人匀速从同一地点到 1500 米处的图书馆看书，甲出发 5 分钟后，乙以一定的 速度沿同一路线行走. 设甲乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分）
， s为t的函数，其函数图像的一部分如图所示. （1）求甲行走的速度； （2）当甲出发多少分钟时，甲、乙两人相距 360 米？
23.（10 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作⊙O 的切 线 EF，交 AB 和 AC 的延长线于 E，F． （1）求证：FE⊥AB； （2）当 AE=6，sin∠CFD=3 5 时，求 EB 的长．
24.(12 分)已知一次函数 1 y kx b   （k≠0）的图像经过(2,0)，(4,1)两
人数
非常 了解
不太 了解
比较 了解
等级基 本 了解
不太 了解
非常了解 20%比 较了解
基本了解9 0
60
30
（第21题）
（第23题）
（第22题）
s（米）
t （分）0 5 15 35 25 45 55
150
300
450
（第24题）
90
点，二次函数 2 2 2 4y x ax   （其中 a＞2）．
（1）求一次函数的表达式及二次函数图像的顶点坐标（用含 a 的代数式表示）； （2）利用函数图像解决下列问题：
①若
2 5a ，求当 1 0 y  且 2 y ≤0 时，求自变量 x 的取值范围； ②如果满足 1 0 y  且 2 y ≤0 时的自变量 x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出 a 的取值
范围．
25．（14 分）在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°. (1) 将△ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90°，得到△ABG（如图①）. 求证：△AEG≌△AEF；
(2) 若直线 EF 与 AB，AD 的延长线分别交于点 M，N（如图②）. 求证：EF2=ME2+NF2； (3) 将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），试探究线段 EF，BE， DF 之间的等量关系，并说明理由.
（第25题）
91
参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．B ； 5．B ； 6．C ； 7．B ； 8．A ； 9．C ； 10．B ． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．把答案填在答题卡的相应位置.
11．
3 11 ； 12．4； 13．乙； 14．7 ； 15．4 2 ； 16．10 或4 5． 三、解答题：本大题共 9 小题，共 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：原式= 2 3 3 3 x xy xy   = 2 3x 所用到的运算律有：分配律、加法结合律. 18．解：由①得 1 2 x ， 由②得 3 x ，
则不等式组的解集为
1 3 2 x   . 此不等式组的解集在数轴上表示为：
19.证明：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴ BO=CO． ∵BE⊥AC 于 E，CF⊥BD 于 F， ∴∠BEO=∠CFO=90°． 又∵∠BOE=∠COF， ∴△BOE≌△COF． ∴BE=CF．
20．解一：如图，用量角器和直尺画∠BDE＝130°,则 BC∥DE.理由如下: ∵ AB＝BC， ∴ ∠C＝∠A＝25°.
92
∴ ∠CBD＝∠C＋∠A＝50°. ∵ ∠BDE＝130°， ∴ ∠CBD＋∠BDE＝180°. ∴ BC∥DE. 解二：如图，用圆规和直尺作∠BDE＝∠ABC,则 BC∥DE.理由如下: ∵∠BDE＝∠ABC ∴ BC∥DE. 解三：如图，用圆规和直尺作△FDE≌△ABC,则 BC∥DE. 理由如下: ∵△FDE≌△ABC, ∴∠FDE＝∠ABC 又 ∵∠FDE＝∠BDM ∴∠BDM＝∠ABC ∴BC∥DE. 21. 解：（1）补齐条形统计图, 300 （2）∵被调查学生中“基本了解”的人数为： 300-（60+90+30）=120（人），
占被调查学生人数的百分比：
%4 0
300 120  ， ∴抽中的学生对足球知识是“基本了解” 的概率是：P=40%（或= 5 2 或 0.4）. 22．解：（1）甲行走的速度为：150 5 30   （米/分）； （2）由图可知，当 t＝35 时，乙行走的路程为： 30×（35－5）＋150＋450＝1500 米， 则乙行走的速度为：1500÷（35－5）＝50（米/分） ；
人数
非常 了解
不太 了解
比较 了解
等级基 本 了解
90
60
30
120
M
93
设甲出发 t 小时与乙相遇，由30 50( 5) t t = - ，
解得 12.5. t= 当 50 t  时，甲行进了30 50 1500   米. 结合函数图像可知，当 12.5 t  和 50 t  时， 0 s ；当 35 t  时， 450 s ， ①当12.5 35 t  时，由待定系数法可求： 20 250 s t   ， 令 360 s ，即20 250 360 t  ，解得 30.5 t  ； ②当35< 50 t  时，由待定系数法可求： 30 1500 s t   ， 令 360 s ，即 30 1500 360 t   ，解得 38 t  . ∴甲行走 30.5 分钟或 38 分钟时，甲、乙两人相距 360 米.
23．（1）证明：连接 OD.（如图） ∵ OC=OD， ∴ ∠OCD=∠ODC. ∵ AB=AC， ∴∠ACB=∠B. ∴ ∠ODC=∠B. ∴ OD∥AB. ∴ ∠ODF=∠AEF. ∵ EF 与⊙O 相切. ∴ OD⊥EF，∴ ∠ODF=90°. ∴∠AEF=∠ODF=90°. ∴ EF⊥AB. （2）解：由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF. 在 Rt△AEF 中，sin∠CFD= AE AF
= 3 5
，AE=6.
∴ AF=10. 在 Rt△ODF 中，sin∠CFD= 3 10 5 OD r OF r   
94
解得 r= 15 4
. ∴ AB=AC=2r= 15 2
.
∴ EB=AB－AE= 15 2
－6= 3 2
.
24．解：（1）∵ 一次函数 1 y kx b   （k≠0）的图像经过(2,0)，(4,1)两点，
∴
2 0, 4 1. k b k b      
解得
1, 2 1.
k b        ∴ 1 2 1 1   xy ． ∵ 2 22 2 4 )(42 a axa xxy   ，
∴ 二次函数图像的顶点坐标为 2 ( ,4 ) a a  ．
（2）①当
2 5a 时， 4 522   x xy ． 如图，因为 1 0 y  且 2 y ≤0，由图像得 2＜x≤4． ②13 6 ≤a＜ 5 2 ． 25.（1）证明：由旋转可知：AG=AF，∠GAF=90°. ∵∠EAF=45°, ∴∠GAE=∠EAF=45°. 又∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF.
（2）证明：在正方形 ABCD 中，有 AD∥BC，∠BAD=90°, ∴∠N=∠CEF=45°. ∴∠AMN=∠N=45°.
G
95
∴△AMN 是等腰直角三角形，AM=AN. 将△ANF 绕着点 A 顺时针旋转 90°， 得到△AMG. 连接 GE.
∴GM=FN，∠AMG=∠N=45°. ∴∠GME=∠AMG+∠AMN=90°. ∴ 2 2 2 GE ME GM   . 又同（1）可证△AEG≌△AEF.
∴EG=EF. ∴EF2=ME2+NF2. （注：也可把△ADF 旋转到△ABG 进行证明）
（3）如图，延长 AB，AD，分别交直线 EF 于点 M，N， 同（2）可得△AMN 是等腰直角三角形，∠AMN=∠N=45°，AM=AN.
96
将△ANF 绕着点 A 顺时针旋转 90°，得到△AMG.
连接 GE. 同（2）可证 EF2=ME2+NF2. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠MBE=∠NDF=90°. ∴△BME 和△DNF 是等腰直角三角形.
∴ME2=2BE2，NF2=2DF2. ∴EF2=2BE2+2DF2 .

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